Background
本学期的通信原理课在介绍信号调制等概念的同时，出现了一些在信号与系统课程中未出现的概念，如谱密度，自相关函数，解析信号，复包络等等，以下对这些基础概念进行简单的总结。
本文仅讨论确定信号分析，包含以下内容：
- 能量谱密度
- 功率谱密度
- 自相关函数
- 解析信号与希尔伯特变换
- 复包络（等效基带信号）
a.能量谱密度ESD
能量信号
总能量有限的信号，如脉冲信号
定义
能量谱密度
其中
意义
可以用来刻画能量信号的能量在频率
物理意义：
示例
对于矩形脉冲信号：
其能量谱密度为：
b.功率谱密度PSD
上面能量谱密度的定义适用于能量集中在一个时间窗口附近的瞬变（脉冲状信号）；因此信号的傅里叶变换一般存在。对于持续存在的连续信号，如平稳过程，可能不存在傅里叶变换，就必须定义功率谱密度（PSD）。
功率信号
信号的总能量无限但平均功率有限，如周期信号或随机信号。满足：
定义
不妨考虑其能量有限的时间截断函数
设
按a中方法计算
可知功率谱密度
周期信号的功率谱密度
对于周期信号
其中
c.自相关函数
定义
对于能量信号，自相关函数定义为：
用来描述信号和其延迟
对于功率信号，此内积不一定存在，可用以下方式定义自相关函数：
自相关函数的性质
偶对称性：
，对实信号有 最大值性质：
，在 处取最大值 与能量/功率的关系：
- 能量信号：
- 功率信号：
- 能量信号：
维纳-辛钦定理
维纳-辛钦定理指出：宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。对于确定信号：
能量信号：
功率信号：
我们可以根据自相关函数来更加方便的求取谱密度。实际上，在部分教材中，谱密度就是定义为自相关函数的傅里叶变换。
d.解析信号
希尔伯特变换
希尔伯特变换是一种特殊的线性变换，它将实信号
其中
频域表示：
物理意义：希尔伯特变换相当于将信号的所有频率分量相移
性质：
（变换两次得到原信号的负值） 与 正交： 与 具有相同的能量谱密度
解析信号
解析信号是由实信号
频域表示：
重要特性：解析信号只包含正频率分量（单边谱）。
应用意义：
- 简化带通信号的分析
- 便于定义瞬时幅度和瞬时相位
- 是复包络概念的基础
瞬时幅度和相位：
其中：
为瞬时幅度（包络） 为瞬时相位 为瞬时频率
复包络（等效基带信号）
对于带通信号
引入复包络（也称等效低通信号或等效基带信号）：
其中：
称为同相分量 称为正交分量
带通信号的复数表示：
与解析信号的关系：
即复包络是解析信号经过频率搬移得到的。
频域关系：
复包络的优势：
- 降低采样率：复包络为低通信号，所需采样率远低于带通信号
- 简化分析：将带通系统的分析转化为等效低通系统
- 调制解调：便于分析各种调制方式（AM、FM、PM等）
- 数字通信：是现代数字通信系统分析的基础
示例：对于AM信号
其复包络为：
可见复包络直接反映了调制信号
总结
本文介绍了通信原理中几个重要的信号分析工具：
- 能量谱密度和功率谱密度：描述信号能量/功率的频域分布
- 自相关函数：描述信号的时域相关性，通过维纳-辛钦定理与谱密度相联系
- 解析信号：通过希尔伯特变换构造的复信号，只含正频率分量
- 复包络：带通信号的等效基带表示，极大简化了通信系统的分析
这些概念相互关联，构成了现代通信系统分析的数学基础。掌握这些工具对于理解信号调制、解调以及通信系统性能分析至关重要。
参考资料
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理[M]. 第7版. 国防工业出版社.
- Proakis, J. G., & Salehi, M. Digital Communications[M]. McGraw-Hill.
- Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing[M]. Pearson.